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二进制（英语：Binary System）是一种以2为基数的进位制数制系统，仅使用0和1两个数字符号，其基数为2，进位规则为"逢二进一"，借位规则为"借一当二"<ref name="baike-binary">[https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6/361457 二进制_百度百科]</ref>。每个二进制数字称为一个比特（Bit，即Binary digit的缩写），是信息论与计算机科学中最基本的数位单元<ref name="baike-binary-system">[https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6%E7%B3%BB%E7%BB%9F/10792238 二进制系统_百度百科]</ref>。二进制数据采用位置计数法，其位权是以2为底的幂，任何数值均可表示为若干2的幂次之和<ref name="baike-binary" />。现代电子计算机普遍采用二进制作为底层运算与数据存储的基础，因其仅需两种对立的物理状态即可实现，如晶体管的导通与截止、高低电平等<ref name="baike-binary-system" />。1985年，IEEE发布IEEE 754标准，规范了二进制浮点算术的表示与运算，成为现代数值计算的通用基础<ref name=":0">[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6 二进制 - 维基百科，自由的百科全书]</ref><ref name="ieee754">[https://ethw.org/Milestones:IEEE_Standard_754_for_Binary_Floating-Point_Arithmetic,_1985 Milestones:IEEE Standard 754 for Binary Floating-Point Arithmetic, 1985 - Engineering and Technology History Wiki]</ref>。

{| class="infobox" style="border:1px solid #ccc; background:#f8f9fa; width:24em; float:right; margin:0 0 1em 1em; border-spacing:5px;"
|-
! colspan="2" style="text-align:center;" | '''二进制'''
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| 中文名 || '''二进制'''
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| 外文名 || Binary System<ref name=":0" />
|-
| 别名 || 二进位制
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| 基数 || 2
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| 数码 || 0、1
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| 基本单位 || 比特（Bit）
|-
| 进位规则 || 逢二进一
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| 借位规则 || 借一当二
|-
| 主要应用 || 电子计算机、数字电路
|-
| 提出者 || 戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
|}

== 定义与表示 ==

二进制是一种逢二进一的计数系统，其数位从右向左的位权依次为<math>2^0, 2^1, 2^2, \dots</math>。例如，二进制数<math>1101_2</math>按权展开为：

<math>1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}</math>

二进制数通常以下标2或后缀B标识，以区别于十进制数。小数部分同样遵循位权原则，各位权值为<math>2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}, \dots</math>，但并非所有十进制小数都能精确转换为有限位二进制小数<ref name="baike-binary" />。

== 历史 ==

二进制系统的数学基础由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）于1679年建立，并于1703年在《皇家科学院回忆录》上发表论文《二进制算术的解释》（''Explication de l'Arithmétique Binaire''），正式向西方学术界系统阐述了二进制算术<ref name="leibniz-history">[https://techhistorylab.com/leibniz-binary-system-computer-foundation/ Leibniz Binary System: The 17th-Century Digital Code]</ref>。莱布尼茨在与中国传教士的书信中提及，《易经》的六十四卦由阴爻（断线）与阳爻（连线）组成，其排列顺序与0至63的二进制数值完全对应，这使他确信二进制是一种普适的数学语言<ref name="leibniz-history" />。

19世纪，乔治·布尔（George Boole）创立布尔代数，以0和1为变量值进行逻辑运算，为电子计算机采用二进制提供了理论基础<ref name="baike-binary-system" />。20世纪40年代，冯·诺依曼团队在设计电子计算机时，将二进制系统付诸实践，通过高低电平分别对应0和1，实现了信息的物理表征与存储<ref name="baike-binary-system" />。1983年，IEEE《通信杂志》刊文回顾了二进制编码的早期历史，系统梳理了其从数学理论到工程应用的演进脉络<ref name="ieee-history">[https://dl.acm.org/doi/abs/10.1109/MCOM.1983.1091319 The early history of the binary code]</ref>。

== 运算规则 ==

二进制数的四则运算规则简洁，仅涉及0和1两个数码的组合。

=== 加法 ===

二进制加法遵循以下规则：

<math>0 + 0 = 0</math>

<math>0 + 1 = 1</math>

<math>1 + 0 = 1</math>

<math>1 + 1 = 10</math>（逢二进一）

例如：<math>1011_2 + 11_2 = 1110_2</math><ref name="baike-binary" />。

=== 减法 ===

二进制减法规则如下：

<math>0 - 0 = 0</math>

<math>1 - 0 = 1</math>

<math>1 - 1 = 0</math>

<math>0 - 1 = 1</math>（向高位借一当二）

例如：<math>10100_2 - 1010_2 = 1010_2</math><ref name="baike-binary-num">[https://baike.baidu.com/item/%E4%BA%8C%E8%BF%9B%E5%88%B6%E6%95%B0/108101 二进制数_百度百科]</ref>。

=== 乘法 ===

二进制乘法规则与逻辑"与"运算一致：

<math>0 \times 0 = 0</math>

<math>0 \times 1 = 0</math>

<math>1 \times 0 = 0</math>

<math>1 \times 1 = 1</math>

运算时按位相乘后累加，其过程与十进制乘法类似，但因数码仅有0和1，部分积的移位相加大幅简化<ref name="baike-binary" />。

=== 除法 ===

二进制除法规则为：

<math>0 \div 1 = 0</math>

<math>1 \div 1 = 1</math>

除法运算通过逐位比较被除数与除数的大小，商仅为0或1，余数继续下移补位，直至完成全部位运算<ref name="baike-binary-num" />。

== 与其他进制的转换 ==

=== 与十进制 ===

二进制转十进制采用"按权展开求和"法，将各位数码乘以其对应位权后累加。十进制整数转二进制采用"除二取余，逆序排列"法；十进制小数转二进制采用"乘二取整，顺序排列"法<ref name="baike-binary" />。

=== 与八进制 ===

二进制转八进制时，从小数点起整数部分向左、小数部分向右，每三位分为一组，不足三位以0补足，每组对应一位八进制数。反之，每位八进制数展开为三位二进制数<ref name="baike-binary" />。

=== 与十六进制 ===

二进制转十六进制时，每四位分为一组，不足四位以0补足，每组对应一位十六进制数（0–9及A–F）。十六进制转二进制则将每位展开为四位二进制数<ref name="baike-binary" />。

== 在计算机中的应用 ==

二进制是现代数字电子计算机的运算基础。由于二进制仅有两个数码，可用任何具有两种对立稳定状态的物理元件表示，如晶体管的导通与截止、电容的充电与放电、磁性材料的两种剩磁状态等，这使得数字装置结构简单、可靠性高<ref name="baike-binary-system" />。

在计算机内部，所有数据——包括数值、字符、图像、音频——最终均以二进制形式存储与处理。为规范浮点数的二进制表示，IEEE于1985年制定IEEE 754标准，定义了单精度（32位）与双精度（64位）二进制浮点格式，确保了数值计算在不同平台间的一致性与可移植性<ref name="ieee754" />。此外，二进制补码（Two's Complement）被广泛用于表示有符号整数，使减法运算可通过加法电路统一实现<ref name="ieee-history" />。

== 参考文献 ==

<references />