二进制

二进制（英语：Binary System）是一种以2为基数的进位制数制系统，仅使用0和1两个数字符号，其基数为2，进位规则为"逢二进一"，借位规则为"借一当二"。每个二进制数字称为一个比特（Bit，即Binary digit的缩写），是信息论与计算机科学中最基本的数位单元。二进制数据采用位置计数法，其位权是以2为底的幂，任何数值均可表示为若干2的幂次之和。现代电子计算机普遍采用二进制作为底层运算与数据存储的基础，因其仅需两种对立的物理状态即可实现，如晶体管的导通与截止、高低电平等。1985年，IEEE发布IEEE 754标准，规范了二进制浮点算术的表示与运算，成为现代数值计算的通用基础。

二进制
中文名	二进制
外文名	Binary System
别名	二进位制
基数	2
数码	0、1
基本单位	比特（Bit）
进位规则	逢二进一
借位规则	借一当二
主要应用	电子计算机、数字电路
提出者	戈特弗里德·威廉·莱布尼茨

定义与表示

二进制是一种逢二进一的计数系统，其数位从右向左的位权依次为<math>2^0, 2^1, 2^2, \dots</math>。例如，二进制数<math>1101_2</math>按权展开为：

<math>1 \times 2^3 + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{10}</math>

二进制数通常以下标2或后缀B标识，以区别于十进制数。小数部分同样遵循位权原则，各位权值为<math>2^{-1}, 2^{-2}, 2^{-3}, \dots</math>，但并非所有十进制小数都能精确转换为有限位二进制小数。

历史

二进制系统的数学基础由德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）于1679年建立，并于1703年在《皇家科学院回忆录》上发表论文《二进制算术的解释》（Explication de l'Arithmétique Binaire），正式向西方学术界系统阐述了二进制算术。莱布尼茨在与中国传教士的书信中提及，《易经》的六十四卦由阴爻（断线）与阳爻（连线）组成，其排列顺序与0至63的二进制数值完全对应，这使他确信二进制是一种普适的数学语言。

19世纪，乔治·布尔（George Boole）创立布尔代数，以0和1为变量值进行逻辑运算，为电子计算机采用二进制提供了理论基础。20世纪40年代，冯·诺依曼团队在设计电子计算机时，将二进制系统付诸实践，通过高低电平分别对应0和1，实现了信息的物理表征与存储。1983年，IEEE《通信杂志》刊文回顾了二进制编码的早期历史，系统梳理了其从数学理论到工程应用的演进脉络。

运算规则

二进制数的四则运算规则简洁，仅涉及0和1两个数码的组合。

加法

二进制加法遵循以下规则：

<math>0 + 0 = 0</math>

<math>0 + 1 = 1</math>

<math>1 + 0 = 1</math>

<math>1 + 1 = 10</math>（逢二进一）

例如：<math>1011_2 + 11_2 = 1110_2</math>。

减法

二进制减法规则如下：

<math>0 - 0 = 0</math>

<math>1 - 0 = 1</math>

<math>1 - 1 = 0</math>

<math>0 - 1 = 1</math>（向高位借一当二）

例如：<math>10100_2 - 1010_2 = 1010_2</math>。

乘法

二进制乘法规则与逻辑"与"运算一致：

<math>0 \times 0 = 0</math>

<math>0 \times 1 = 0</math>

<math>1 \times 0 = 0</math>

<math>1 \times 1 = 1</math>

运算时按位相乘后累加，其过程与十进制乘法类似，但因数码仅有0和1，部分积的移位相加大幅简化。

除法

二进制除法规则为：

<math>0 \div 1 = 0</math>

<math>1 \div 1 = 1</math>

除法运算通过逐位比较被除数与除数的大小，商仅为0或1，余数继续下移补位，直至完成全部位运算。

与其他进制的转换

与十进制

二进制转十进制采用"按权展开求和"法，将各位数码乘以其对应位权后累加。十进制整数转二进制采用"除二取余，逆序排列"法；十进制小数转二进制采用"乘二取整，顺序排列"法。

与八进制

二进制转八进制时，从小数点起整数部分向左、小数部分向右，每三位分为一组，不足三位以0补足，每组对应一位八进制数。反之，每位八进制数展开为三位二进制数。

与十六进制

二进制转十六进制时，每四位分为一组，不足四位以0补足，每组对应一位十六进制数（0–9及A–F）。十六进制转二进制则将每位展开为四位二进制数。

在计算机中的应用

二进制是现代数字电子计算机的运算基础。由于二进制仅有两个数码，可用任何具有两种对立稳定状态的物理元件表示，如晶体管的导通与截止、电容的充电与放电、磁性材料的两种剩磁状态等，这使得数字装置结构简单、可靠性高。

在计算机内部，所有数据——包括数值、字符、图像、音频——最终均以二进制形式存储与处理。为规范浮点数的二进制表示，IEEE于1985年制定IEEE 754标准，定义了单精度（32位）与双精度（64位）二进制浮点格式，确保了数值计算在不同平台间的一致性与可移植性。此外，二进制补码（Two's Complement）被广泛用于表示有符号整数，使减法运算可通过加法电路统一实现。