自然数
自然数（英文：Natural number）是数学中最基本的数系之一，用以计量事物的件数或表示事物的次序。按国际标准化组织（ISO）发布的 ISO 80000-2:2019 标准，自然数指非负整数，即 0, 1, 2, 3, 4, …… 构成的无穷集合，通常用符号 ℕ 表示[1]。然而，关于自然数是否包含 0 至今尚无全球统一共识：在数论领域通常将自然数定义为正整数（从 1 开始），而在集合论、计算机科学及逻辑学中则多将 0 纳入自然数集合[2]。19 世纪意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano）提出的皮亚诺公理体系，为自然数提供了严格的逻辑基础[3]。
| 自然数 | |
|---|---|
| 英文名 | Natural number |
| 符号 | ℕ |
| 定义 | 非负整数（ISO 80000-2:2019） |
| 起始值 | 0 或 1（依领域而定） |
| 所属数系 | 整数 |
| 相关概念 | 正整数、整数、有理数 |
定义与范围
自然数的定义在不同数学分支中存在差异。按国际标准化组织 ISO 80000-2:2019 的定义，自然数为非负整数，即集合 {0, 1, 2, 3, ……}[1]。但在数论中，自然数通常指正整数 {1, 2, 3, ……}，此时非负整数集被称为"全数"（Whole numbers）[2]。为避免歧义，现代数学文献常使用 ℕ⁺ 或 ℕ* 表示正整数集，用 ℕ₀ 表示包含 0 的非负整数集[1]。
历史
自然数的概念源于人类最基本的计数需求，其历史可追溯至史前时期。法国数学家尼古拉·许凯（Nicolas Chuquet）于 1484 年首次用"progression naturelle"（自然级数）描述序列 1, 2, 3, 4……。英国数学家威廉·埃默森（William Emerson）在 1763 年的著作《增量法》（The Method of Increments）中首次在英语中使用"natural number"一词[2]。
19 世纪，数学家们致力于为数系建立严密的逻辑基础。朱塞佩·皮亚诺于 1889 年提出皮亚诺公理，理查德·戴德金（Richard Dedekind）和戈特洛布·弗雷格（Gottlob Frege）等也分别从集合论和逻辑学角度对自然数进行了严格定义[2]。
公理化定义
皮亚诺公理
皮亚诺公理是定义自然数最广泛使用的公理体系，包含五条基本公理[3]：
- 0 是一个自然数；
- 每一个自然数都有一个后继者，且后继者也是自然数；
- 0 不是任何自然数的后继者；
- 如果两个自然数的后继者相同，则这两个自然数相同；
- （归纳公理）若一个集合包含 0，且包含其中每个元素的后继者，则该集合包含所有自然数。
第五条公理即数学归纳法的基础，使得关于自然数的无限命题可以通过有限步骤证明[2]。
集合论构造
在策梅洛-弗兰克尔集合论（ZFC）中，自然数可通过空集递归构造：定义 0 为空集 ∅，1 = {0}，2 = {0, 1}，以此类推，每个自然数 n 定义为所有小于 n 的自然数组成的集合[2]。
基本运算
自然数集对加法和乘法运算是封闭的，即任意两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数。加法和乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律[2]。
减法和除法在自然数集中不总是封闭：当减数大于被减数，或除法不能整除时，结果将超出自然数范围。因此，减法和除法并非自然数集上的全运算[1]。
性质
自然数具有离散性和无限性。自然数集是良序集，即任意非空子集都有最小元。自然数可分为基数（表示数量）和序数（表示次序）两种基本用途[1]。
按因数个数，大于 1 的自然数可分为质数（仅含 1 和自身两个因数）与合数（含其他因数）；1 既非质数也非合数。若将 0 纳入自然数，0 同样既非质数也非合数[1]。